風結ぶ言葉たち

決策は管理の重要な職能であり、決定者がシステムの提案に対して行う決定のプロセスと結果、決定時の決定者の行動と責任です。

管理決策分析は、変化の多い環境条件下で決定者が正しい決定を行うために提供される一連の推論方法、論理的ステップ、具体的な技術、およびこれらの技術と方法を利用して満足のいく行動計画を選択するプロセスです。

決策分析の種類#

決策問題の基本モデル：

$ W_{ij} = f(A_i,\theta_j) \qquad i=1,2,\cdots,m \qquad j=1,2,\cdots,n $

• $ A_i $ は決定者の第 $i$ の戦略または提案であり、決定変数に属し、決定者が制御可能な要素です；

• $ \theta_j $ は決定者と決定対象（決策問題）が置かれている第 $ j $ の環境条件または自然状態であり、状態変数に属し、決定者が制御できない要素です；

• $ W_{ij} $ は決定者が第 $ j $ の環境条件下で第 $i$ の戦略を選択した結果であり、決策問題の価値関数の値であり、一般的に利益損失値、効用値と呼ばれます。

確定型問題分析#

問題の特徴#

1. 決定者が達成したい目標（利益が大きく損失が小さい）があります；

2. 選択可能な行動計画が二つ以上存在します；

3. 異なる行動計画の自然状態下での利益損失値を計算できます；

4. 一つの確定した自然状態があります；

解法#

1. 提案の数が多い場合、運営学の計画などの方法を用いて分析解決（線形計画、動的計画目標計画など）します；

2. 多段階確定型決策問題の解法 —— 動的計画法；

3. 厳密に言えば、確定型問題は知識最適化計算の問題であり、真の管理決策分析問題ではありません。

典型例題#

ある企業が甲製品を生産する準備をしており、その単位販売価格は 150 元 / 件、単位変動コストは 100 元 / 件、固定コストは 5000 元、年産量は 200 件です。求解：

1. 企業の年利益はいくらですか？
2. 損益分岐点の生産量はいくらですか？
3. 最低価格はいくらであれば、企業は損失を出さないか？
4. 目標利益が 1 万元の場合、目標コストはいくらか？
5. 原材料の価格上昇と労働者の賃金増加により、単位変動コストが 140 元 / 件に上昇した場合、単位販売価格が変わらず転産できない場合、企業は生産を停止すべきか？

企業の年利益：

$ E=(P-V)N-F = (150-100)\times200-5000=5000 元 $

損益分岐点の生産量：

$ N^{*}=\frac{F}{P-V}=\frac{5000}{150-100} = 100 件 $

損益分岐点の価格：

$ P^{*}=\frac{VN+F}{N}=100+\frac{5000}{200} = 125 元/件 $

目標利益が 1 万元の販売量：

$ N_{目標}=\frac{F+E}{P-V}=\frac{5000+10000}{150-100} = 300 件 $

目標総コスト：

$ VN_{目標}+F=100\times300+5000 = 35000 元 $

リスク型問題分析#

問題の特徴#

1. 決定者が達成したい目標（利益が大きいまたは損失が小さい）があります；

2. 選択可能な行動計画が二つ以上存在します；

3. 異なる行動計画の自然状態下での利益損失値を計算できます；

4. 二つ以上の自然状態があります；

5. 異なる自然状態が発生する確率を予測できます。

解法#

1. 期待値；

2. 行列法；

3. 決定木法。

リスク型決策分析問題は一般的な現実状況における決策分析の主要な内容であり、基本的な方法に基づいて、情報の価値とその分析、決定者の効用観などの重要な問題を把握することに注意が必要です。

不確定型問題分析#

問題の特徴#

1. 決定者が達成したい目標（利益最大または損失最小）があります；

2. 選択可能な行動計画が二つ以上存在します；

3. 異なる行動計画の自然状態下での利益損失値を計算できます；

4. 二つ以上の自然状態があります；

5. 異なる自然状態が発生する確率を予測できません。

解法#

1. 楽観法（最大最大原則）;

2. 悲観法（最小最大原則）;

3. 後悔値法（SaVage 基準または後悔値最大最小原則）;

4. 等確率法（ラプラス基準、特別なリスク型決策）。

典型例題#

ある企業が新製品を生産する準備をしています。この製品の販売量には高い、一般的、低い、非常に低いの四つの状況があり、それぞれの状態が発生する確率は予測できません。この製品の生産のために、企業には三つの実施計画があります：新しい工場を建設して生産する；既存の工場を改造して生産する；一部の部品を既存の工場で生産し、一部の部品を外注する。この新製品は企業が 10 年間生産する予定で、10 年間の異なる状態での損益値（投資費用を差し引いたもの）は表 5-1 に示されています。楽観法、悲観法、後悔値法を用いて実施計画を決定してください。

| | 市場販売額が高い | 市場販売額が一般的 | 市場販売額が低い | 市場販売額が非常に低い |
|-----------|---------|---------|---------|---------|
| 新工場を設立 | 850 | 420 | -150 | -400 |
| 既存工場を改造 | 600 | 400 | -100 | -350 |
| 一部生産、一部外注 | 400 | 250 | 90 | -50 |

楽観法：

各異なる計画の異なる状態での最大利益はそれぞれ次の通りです：

$max_{A_1}{850,420,-150,-400} = 850$

$max_{A_2}{600,400,-100,-350} = 600$

$max_{A_3}{400,250,90,-50} = 400$

各計画の最大利益値の中から最大値を取ると：

$ max\{850,600,400\} = 850 $

つまり、対応する計画は $ A_1 $、新工場を設立します。

悲観法：

各異なる計画の異なる状態での最小利益はそれぞれ次の通りです：

$min_{A_1}{850,420,-150,-400} = -400$

$min_{A_2}{600,400,-100,-350} = -350$

$min_{A_3}{400,250,90,-50} = -50$

各計画の最小利益値の中から最大値を取ると：

$ max\{-400,-350,-50\} = -50 $

つまり、対応する計画は $ A_3 $、一部生産、一部外注です。

後悔値法：

各状態での最大の利益値を取り、それを他の計画の利益値と差し引き、その後各計画の最大後悔値を比較します。

各計画の最大後悔値の中から最小値を取ると：

$ max\{350,300,450\} = 300 $

つまり、対応する計画は $ A_2 $、既存工場を改造します。

等確率法：

各状態が発生する確率が同じと仮定し、各計画の利益期待値を計算して比較し、各計画の利益期待値の最大値を取って対応する計画を選択します。この方法は非常に単純なため、詳細は省略します。

リスク型問題分析#

問題の特徴#

1. 決定者が達成したい目標（利益が大きいまたは損失が小さい）があります；

2. 選択可能な行動計画が二つ以上存在します；

3. 異なる行動計画の自然状態下での利益損失値を計算できます；

4. 二つ以上の自然状態があります；

5. 異なる自然状態が発生する確率を予測できます。

解法#

1. 期待値；

2. 行列法；

3. 決定木法。

リスク型決策問題は一般的な決策分析の主要な内容であり、基本的な方法に基づいて、情報の価値とその分析、決定者の効用観などの重要な問題を把握することに注意が必要です。

期待値法#

期待値法は、確率論におけるランダム変数の数学的期待値の公式を利用して、各行動計画の利益損失期待値を算出し、比較することです。もし決策目標（基準）が期待利益の最大化であれば、期待利益が最大の行動計画を最適な計画として選択します；逆に、決策目標が期待コストの最小化であれば、期待コストが最小の計画を最適な計画として選択します。

$ E(X) = \sum{P_iX_i}$

• $ X_i $ はランダム離散変数 $ X $ の第 $ i $ の取値で、$i=1,2,\cdots,m $;

• $ P_i $ は $ X = X_i $ のときの確率です。

決定木法#

決定木法とは、樹形図モデルを利用して決策分析問題を記述し、決定木図上で直接決策分析を行う方法です。決策目標（基準）は、利益損失期待値または変換された他の指標値であることもあります。

典型例題：

ある軽工業企業が、来年の製品の生産量を決定し、早めに生産前の各種準備を行う必要があります。生産量の大きさは主にその製品の販売価格の良し悪しによって決まると仮定します。過去の市場販売価格の統計データと市場予測情報に基づくと、将来の製品販売価格が上昇、価格が変わらない、価格が下落する三つの状態の確率はそれぞれ 0.3、0.6、0.1 です。この製品を大、中、小の三つの異なるバッチ（つまり三つの異なる計画）で生産する場合、次年度の異なる価格状態での利益損失値を推定できます。以下の表に示します。現在、決策分析を通じて次年度の生産量を決定し、この製品が得られる利益期待値を最大化する必要があります。

| | 価格上昇 $ \theta_1 $ | 価格不変 $ \theta_2 $ | 価格低下 $ \theta_3 $ |
|-------------|------------------|------------------|------------------|
| | 0.3 | 0.6 | 0.1 |
| 大量生産 $ A_1 $ | 40 | 36 | -6 |
| 中量生産 $ A_2 $ | 36 | 34 | 24 |
| 小量生産 $ A_3 $ | 20 | 16 | 14 |

問題の説明に基づいて、以下のように決定木を描くことができます。

多段階決定木法#

一度の決定を行うだけで分析解決が完了する場合、このような決策分析問題は単一段階決策と呼ばれます。逆に、いくつかの決策問題は複数回の決定を経て完了する必要があるため、このような決策問題は多段階決策問題と呼ばれます。決定木法を用いて多段階決策分析を行うことを多段階決定木法と呼びます。

情報の価値#

情報と決策の関係は非常に密接です。正しい決策を得るためには、十分で信頼できる情報に依存する必要があります。決策に必要な情報の分類：一つは完全情報であり、これにより完全に確実な自然状態を得ることができ、正しい決策に役立ちます；もう一つはサンプリング情報であり、これは不完全に信頼できる情報の一種です。

完全情報の価値#

典型例題#

ある化学工場が化学製品を生産しています。統計データの分析により、この製品の不良率は五つの多段階（つまり五つの状態）に分けられ、それぞれの等級（状態）の確率は以下の通りです：

| 不良率 | $ S_1 $（0.02） | $ S_2 $（0.05） | $ S_3 $（0.10） | $ S_4 $（0.15） | $ S_5 $（0.20） |
|-----|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|
| 確率 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.20 | 0.30 |

さらなる分析により、製品の不良率の高低はその製品に使用される主要原料の純度に関係していることが分かりました。現在、化学原料の純度が高いと不良率が低く（例えば $ S_1 $ は 0.02）、逆に純度が低いと不良率が高くなります。また、化学原料の純度の高低は、輸送、保存期間などの要因に関係しています。したがって、工場の生産部門の責任者は、この製品を生産する前に、化学原料に「精製」工程を追加することを提案しました。この精製工程により、すべての原料が $ S_1 $ 状態になり、不良率が低下します。しかし、精製工程を追加するには工程費用が増加します。

計算の結果、各バッチの原料の精製費用は 3400 元であることが分かりました。異なる純度状態での利益損失値は以下の表に示されています。生産前に化学原料を検査し、各バッチの化学原料がどの純度状態にあるかを把握することで、異なる純度の原料に対して異なる戦略、すなわち精製または非精製を採用し、利益損失期待値を最大化することができます。

| 不良率 | $ S_1 $（0.02） | $ S_2 $（0.05） | $ S_3 $（0.10） | $ S_4 $（0.15） | $ S_5 $（0.20） |
|------------|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|
| 確率 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.20 | 0.30 |
| 精製 $ A_1 $ | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 |
| 非精製 $ A_2 $ | 4400 | 3200 | 2000 | 800 | -400 |

問題の説明に基づいて、以下のように決定木を描くことができます。

サンプリング情報の価値#

典型例題#

ある会社には 50,000 元の余剰資金があります。この資金をあるプロジェクトの開発に使用すると、成功率は 96% で、成功した場合には一年で 12% の利益が得られます。しかし、失敗した場合には全資金を失う危険があります。資金を銀行に預けると、年利 6% を確保できます。より多くの情報を得るために、会社はコンサルティングサービスに助けを求め、コンサルティング費用は 500 元ですが、コンサルティング意見はあくまで参考です。過去のコンサルティング会社の類似 200 件のコンサルティング意見の実施結果は、以下の表に示されています。

| | 投資成功 | 投資失敗 | 合計 |
|------|------|------|-----|
| 投資可能 | 154 | 2 | 156 |
| 投資不適 | 38 | 6 | 44 |
| 合計 | 192 | 8 | 200 |

問題の説明に基づいて、以下のように決定木を描くことができます。

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