系統モデルとモデリング技術（2）

系統結構模型化技術#

結構分析的概念及意義#

概念：結構分析は、システムの構造モデリングとその解釈を実現するプロセスです。

意義：結構分析は、システム分析の主要な内容であり、システムの最適化分析、設計、および管理の基礎です。

主要な内容：

システムの目的と機能の理解
システム構成要素の選択
要素間の関係と階層関係の分析
システム全体の構造の確定とその解釈

系統結構の基本表現方法#

系統結構はさまざまな表現方法があり、一般的にはこれらの方法を相互に変換することができます。以下では、2 つの例を示します。

系統結構の集合表現#

あるシステム A には、$ S_1 $ から $ S_5 $ までの 5 つの要素が含まれており、それらの間の二元関係は集合表現で表されます。

$ R_b = {(S_1, S_2), (S_1, S_5), (S_2, S_3), (S_3, S_4), (S_5, S_2), (S_5, S_3), (S_5, S_4)} $

同様に、要素 $ S_1 $ から $ S_6 $ までの 6 つの要素を持つシステム B では、二元関係の集合表現は次のようになります。

$ R_b = {(S_1, S_3), (S_1, S_5), (S_2, S_4), (S_4, S_2), (S_4, S_6), (S_5, S_1), (S_5, S_2)} $

系統結構の有向グラフ表現#

記述に基づいて、次のような有向グラフを作成できます。

系統結構の行列表現#

隣接行列#

隣接行列 $ (A) $ は、システム要素間の基本的な二元関係または直接の接続状況を表す行列です。2 つの要素間に二元関係が存在する場合、対応する位置に "1" を入力し、そうでない場合は "0" を入力します。集合表現 $ (S, R_b) $ または有向グラフ $ (D) $ でシステム構造を表現すると、簡単に $ (A) $ を作成できます。システム A、B の隣接行列は次のようになります。

明らかなように、$ A $ の中の "1" の数は、$ R_b $ に含まれる要素のペアの数と有向グラフ $ D $ の弧の数と同じです。

隣接行列では、列の要素がすべて 0 の場合、その列に対応する要素はシステムの入力要素です。行の要素がすべて 0 の場合、その行に対応する要素はシステムの出力要素です。

可達行列#

要素 $ S_i $ と $ S_j $ の間に伝達的な二元関係が存在するか、または有向グラフ上でノードiからjへの有向経路が存在する場合、$ S_i $ は $ S_j $ に到達可能と言います。可達行列 $ (M) $ は、システム要素間の任意の伝達的な二元関係または有向グラフ上の任意の長い経路が到達可能な状況を表す行列です。

行列 $ A $ と $ M $ の要素はすべて "1" または "0" であり、ブール演算の規則に従います。隣接行列 $ A $ の演算により、システム要素の可達行列 $ M $ を求めることができます。ループのない場合の最大経路長または伝達回数を $ r $ とし、$ I $ を $ A $ と同じ次元の単位行列とすると、可達行列の計算式は $ M=(A+I)^r $ です。

システム A とシステム B の可達行列は次のようになります。